Question

14．如圖，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？
（2）是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）證△APQ∽△ABC，推出$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，代入得出$\frac{10-2t}{10}=\frac{2t}{8}$，求出方程的解即可；
（2）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，得出方程$-\frac{5}{6}{t}^{2}+6t=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×8×6，求出此方程無解，即可得出答案．

解答 解：（1）由題意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{10-2t}{10}=\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{20}{9}$，
∴當(dāng)t=$\frac{20}{9}$時(shí)，PQ∥BC．
（2）假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
即$-\frac{5}{6}{t}^{2}+6t=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×8×6，
t²-5t+10=0，
∵△=5²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程無解，
即不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積，勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．