Question

16．在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A坐標為（0，3），頂點C坐標為（8，0）．直線y=$\frac{3}{4}$x交AB于點D，點P從O點出發(fā)，沿射線OD方向以每秒a個單位長度的速度移動，同時點Q從C點出發(fā)沿x軸向原點O方向以每秒1個單位長度的速度移動，當點Q到達O點時，點P停止移動．連結PB，PC，設運動時間為t秒．
（1）求D點坐標；
（2）當△PBC為等腰三角形時，求P點坐標；
（3）若點P，Q在運動過程中存在某一時刻，使得以點O，P，Q為頂點的三角形與△BCQ相似，求P的運動速度a的值．

Answer 1

分析 （1）由直線y=$\frac{3}{4}$x交AB于點D，矩形OABC的頂點A坐標為（0，3），把y=4代入y=$\frac{3}{4}$x得，解得x=4，即可求出點D的坐標
（2）分兩種情況①當PC=PB時，②當PB=BC時，設P（x，$\frac{3}{4}$x）分別求解即可，
（3）分兩種情況：①當PQ⊥x軸，由PQ=$\frac{3}{5}$at，PQ=$\frac{3}{4}$（8-t），可得a的值，由△OPQ∽△BCQ，得出$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OQ}{CQ}$，解得t的值，即可得出a的值，或利用$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OQ}{BC}$t的值，即可解得a的值，②當PQ⊥OD，由PQ=$\frac{3}{4}$at，PQ=$\frac{3}{5}$（8-t），可得a的值，由△OPQ∽△BCQ，可得$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OP}{CQ}$，解得t的值，即可得出a的值，$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OP}{BC}$，解得t的值，代入求得a的值．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{3}{4}$x交AB于點D，矩形OABC的頂點A坐標為（0，3），
∴把y=4代入y=$\frac{3}{4}$x得，3=$\frac{3}{4}$x，解得x=4，
∴D（4，3）；
（2）①如圖1，當PC=PB時，點P為BC的中垂線與直線y=$\frac{3}{4}$x的交點，

∴把y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{3}{4}$x得，$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$x，解得x=2，
∴${P_1}（{2，\frac{3}{2}}）$；
②如圖2，當PB=BC時，設P（x，$\frac{3}{4}$x）

∵B（8，3），
∴PB²=（x-8）²+（$\frac{3}{4}$x-3）²，
∴（x-8）²+（$\frac{3}{4}$x-3）²=9，解得x₁=$\frac{128}{25}$，x₂=8（舍去）
∴把x₁=$\frac{128}{25}$代入y=$\frac{3}{4}$x，得y=$\frac{96}{25}$，
∴${P_2}（{\frac{128}{25}，\frac{96}{25}}）$；
（3）①如圖3，當PQ⊥x軸，連接BQ

PQ=$\frac{3}{5}$at，PQ=$\frac{3}{4}$（8-t），
∴a=$\frac{40-5t}{4t}$，
∵△OPQ∽△BCQ，
∴$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OQ}{CQ}$，即$\frac{\frac{3}{4}（8-t）}{3}$=$\frac{8-t}{t}$，解得t=4
a=$\frac{40-5t}{4t}$=$\frac{5}{4}$，
或$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OQ}{BC}$即$\frac{\frac{3}{4}（8-t）}{t}$=$\frac{8-t}{3}$，解得t=$\frac{9}{4}$，
把t=$\frac{9}{4}$代入a=$\frac{40-5t}{4t}$，解得a=$\frac{115}{36}$，
∴∠OQP=90°時，$a=\frac{5}{4}或\frac{115}{36}$；
②如圖4，當PQ⊥OD，

∵PQ=$\frac{3}{4}$at，PQ=$\frac{3}{5}$（8-t），
∴a=$\frac{32-4t}{5t}$，
∵△OPQ∽△BCQ，
∴$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{OP}{CQ}$，即$\frac{\frac{3}{4}at}{3}$=$\frac{at}{8-t}$，解得t=4，
把t=4代入a=$\frac{32-4t}{5t}$=$\frac{4}{5}$，
或$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{OP}{BC}$，即$\frac{\frac{3}{4}at}{t}$=$\frac{at}{3}$，解得t=$\frac{9}{4}$，
把t=$\frac{9}{4}$，代入a=$\frac{32-4t}{5t}$=$\frac{92}{45}$，
∴∠OPQ=90°時，$a=\frac{4}{5}或\frac{92}{45}$．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及一次函數(shù)中求點的坐標，等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是分不同情況解決問題．