Question

19．如圖所示，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點OA₁=OB₁，連結A₁B₁，在B₁A₁、B₁B上分別取點A₂、B₂，使B₁B₂=B₁A₂，連結A₂B₂…按此規(guī)律下去，記∠A₂B₁ B₂=θ₁，∠A₃B₂B₃=θ₂，…，∠A_n+1B_n B_n+1=θ_n，則θ₂₀₁₆-θ₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． $\frac{180°+α}{{2}^{2015}}$
• B． $\frac{180°-α}{{2}^{2015}}$
• C． $\frac{180°+α}{{2}^{2016}}$
• D． $\frac{180°-α}{{2}^{2016}}$

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形兩底角相等用α表示出∠A₁B₁O，再根據(jù)平角等于180°列式用α表示出θ₁，再用θ₁表示出θ₂，并求出θ₂-θ₁，依此類推求出θ₃-θ₂，…，θ₂₀₁₃-θ₂₀₁₂，即可得解．

解答 解：∵OA₁=OB₁，∠AOB=α，
∴∠A₁B₁O=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴$\frac{1}{2}$（180°-α）+θ₁=180，
整理得，θ₁=$\frac{180°+a}{2}$，
∵B₁B₂=B₁A₂，∠A₂B₁B₂=θ₁，
∴∠A₂B₂B₁=$\frac{1}{2}$（180°-θ₁），
∴$\frac{1}{2}$（180°-θ₁）+θ₂=180°，
整理得θ₂=$\frac{180°+{θ}_{1}}{2}$=$\frac{3×180°+a}{4}$，
∴θ₂-θ₁=$\frac{3×180°+a}{4}$-$\frac{180°+a}{2}$=$\frac{180°-a}{4}$=$\frac{180°-a}{{2}^{2}}$，
同理可求θ₃=$\frac{180°+{θ}_{2}}{2}$=$\frac{7×180°+a}{8}$，
∴θ₃-θ₂=$\frac{7×180°+a}{8}$-$\frac{3×180°+a}{4}$=$\frac{180°-a}{8}$=$\frac{180°-a}{{2}^{3}}$，
…，
依此類推，θ₂₀₁₆-θ₂₀₁₅=$\frac{180°-a}{{2}^{2016}}$．
故選D．

點評 本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，圖形的變化規(guī)律，依次求出相鄰的兩個角的差，得到分母成2的指數(shù)次冪變化，分子不變的規(guī)律是解題的關鍵．