Question

13．直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸，y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象相交于點C（2，3）．點P是反比例函數(shù)圖象上一點，作PE垂直x軸于E，若以P、O、E為頂點的三角形與△AOB相似，則點P的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸，y軸分別相交于A、B兩點，求得OA=4，OB=2，由點C（2，3）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，求出反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{6}{x}$（x＞0），設(shè)P（a，$\frac{6}{a}$），求得PE=$\frac{6}{a}$，OE=a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸，y軸分別相交于A、B兩點，
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵點C（2，3）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{6}{x}$（x＞0），
∵點P是反比例函數(shù)圖象上一點，
∴設(shè)P（a，$\frac{6}{a}$），
∵PE垂直x軸于E，
∴PE=$\frac{6}{a}$，OE=a，
∵以P、O、E為頂點的三角形與△AOB相似，
∴$\frac{PE}{OB}=\frac{OE}{OA}$或$\frac{PE}{OA}=\frac{OE}{OB}$，
即：$\frac{\frac{6}{a}}{2}=\frac{a}{4}$，$\frac{\frac{6}{a}}{4}=\frac{a}{2}$，
解得：a=±2$\sqrt{3}$，a=$±\sqrt{3}$，
∵y=$\frac{k}{x}$（x＞0），
∴點P在第一象限，
∴P（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
故答案為：（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$中k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)，正確掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．