Question

11．在平面直角坐標系中，已知平行四邊形ABCD的點A（0，-2）、點B（3m，4m+1）（m≠-1），點C（6，2），則對角線BD的最小值是6．

Answer 1

分析 先根據(jù)B（3m，4m+1），可知B在直線y=$\frac{4}{3}$x+1上，所以當BD⊥直線y=$\frac{4}{3}$x+1時，BD最小，找一等量關系列關于m的方程，作輔助線：過B作BH⊥x軸于H，則BH=4m+1，利用三角形相似得BH²=EH•FH，列等式求m的值，得BD的長即可．

解答 解：如圖，∵點B（3m，4m+1），
∴令$\left\{\begin{array}{l}{3m=x}\\{4m+1=y}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x+1，
∴B在直線y=$\frac{4}{3}$x+1上，
∴當BD⊥直線y=$\frac{4}{3}$x+1時，BD最小，
過B作BH⊥x軸于H，則BH=4m+1，
∵BE在直線y=$\frac{4}{3}$x+1上，且點E在x軸上，
∴E（-$\frac{3}{4}$，0），G（0，1）
∵F是AC的中點
∵A（0，-2），點C（6，2），
∴F（3，0）
在Rt△BEF中，
∵BH²=EH•FH，
∴（4m+1）²=（3m+$\frac{3}{4}$）（3-3m），
解得：m₁=-$\frac{1}{4}$（舍），m₂=$\frac{1}{5}$，
∴B（$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴BD=2BF=2×$\sqrt{（3-\frac{3}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=6，
則對角線BD的最小值是6；
故答案為：6．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、射影定理或三角形相似、圖形與坐標特點、勾股定理，本題利用B的坐標確定點B所在的直線的解析式是關鍵．