Question

15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足∠BCA=90°，AC=BC=5$\sqrt{2}$，點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開始沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)C始終在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B始終在第一象限運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)AB∥y軸時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)是（5，10）；
（2）隨著A、C的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B落在直線y=3x上時(shí)，求此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使以O(shè)、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形面積是40？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)勾股定理，可得CD的長，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BE=OC=a，EC=OA=2a，根據(jù)勾股定理，可得a的長，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，
（3）分類討論：①D在y軸的正半軸上；②D在y軸的負(fù)半軸上，根據(jù)面積的和差，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)AB∥y軸時(shí)，作CD⊥AB于D，如圖1：
，
由勾股定理，得
AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
BD=AD=5，
由勾股定理，得
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=5
B點(diǎn)坐標(biāo)是 （5，10）．
（2）過點(diǎn)B作BE⊥y軸，如圖2：
，
在△BCE和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠O}\\{∠ECB=∠OAC}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△COA（AAS）
∴BE=OC，EC=OA．
設(shè)點(diǎn)B（a，3a），
∴BE=a，OE=3a
∴BE=OC=a，EC=OA=2a，
在Rt△OCA中，由勾股定理，得OC²+OA²=AC²，即a²+4a²=50，
解得：$a=\sqrt{10}$，OA=2a=2$\sqrt{10}$，
∴A（$2\sqrt{10}$，0）；
（3）①D在y軸的正半軸上，設(shè)D（0，b），作BE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖3：
，
S_OABD=S_OEBD+S_ABE=$\frac{1}{2}$（b+3$\sqrt{10}$）×$\sqrt{10}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=40，
解得b=2$\sqrt{10}$，即D（0，2$\sqrt{10}$）；
②D在y軸的負(fù)半軸上，設(shè)D（0，-b），如圖4：
，
S_OBAD=S_OAB+S_OAD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$b=40，
解得b=$\sqrt{10}$，D（0，-$\sqrt{10}$）．
故D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$2\sqrt{10}$）或（0，$-\sqrt{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用勾股定理是解題關(guān)鍵；（2）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；（3）利用面積的和差得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵，注意分類討論，以防遺漏．