Question

11．問題情境：如圖1，在?ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的動點，連接EG、HF，相較于點O，切∠HOE=∠ADC，若AB=a，AD=b，試探究：EG與FH的數(shù)量關系，小聰建議分以下三步進行，請你解答：
（1）特殊情況，探索結論
當?ABCD是邊長為a的正方形（如圖2），請寫出EG盒FH的數(shù)量關系（不必證明）；
（2）嘗試變題，再探思路
當?ABCD是邊長為a的菱形時（如圖3）EG與FH又有怎樣的數(shù)量關系呢？
小聰展示出如下正確的解法（不完整）
如圖3，分別過點G、H、作GM⊥AB于點M，HN⊥⊥BC于點N，則∠GME=∠HNF=90°
∵AB×GM=BC×HN，AB=BC
∴GM=HN
…
請補全小聰?shù)慕獯疬^程
（3）特例啟發(fā)，解答題目
猜想：圖1中EG與FH的數(shù)量關系是$\frac{EG}{FH}=\frac{a}$，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME≌△HNF即可；
（2）過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，根據(jù)菱形面積公式求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME≌△HNF即可；
（3）過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，根據(jù)平行四邊形面積公式求出$\frac{GM}{HN}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}$，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME∽△HNF即可．

解答 （1）解：EG=FH，
理由是：過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，如圖1：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=AB，AD∥BC，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
∴GM∥AD∥BC，HN∥DC∥AB，
∴四邊形ADGM、四邊形GMBC、四邊形AHNB，四邊形DCNH是平行四邊形，
∴DC=HN=AB，AD=GM=BC，
∴HN=GM，
∵∠ADC=∠HOE=90°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∵HN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠GME=∠HNF=90°，
在△GME和△HNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH；
（2）EG=FH，理由是：
過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，如圖2：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
∵菱形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN，
∴GM=HN，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
在△GME和△HNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEM=∠HFN}\\{∠GME=∠HNF}\\{GM=HN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH．
（3）$\frac{EG}{FH}=\frac{a}$
理由是：
過G作GM⊥AB于M，過H作HN⊥BC于N，如圖3：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四邊形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴$\frac{GM}{HN}=\frac{a}$，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴$\frac{EG}{FH}=\frac{GM}{HN}=\frac{a}$，
故答案為：$\frac{EG}{FH}=\frac{a}$．

點評 本題考查了正方形性質，平行四邊形性質，菱形性質，面積公式，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，題目具有一定的代表性，證明過程類似．