Question

7．已知：如圖，對稱軸為直線$x=\frac{3}{2}$的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC，且OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點P為線段AC上的一點，過P作PM⊥x軸于點M，PQ∥x軸交BC于點Q，再過點Q作QN⊥x軸于點N，求四邊形PMNQ為正方形時點P的坐標；
（3）若動點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D，連接CE．設AE的長為m，求△CDE的面積最大時，點E到直線BC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據A、B關于x=$\frac{3}{2}$對稱，及OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC，可得A、B、C的坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據待定系數法，可得AC、BC的解析式，根據P在AC上，可得P點坐標，根據PM⊥x軸于點M，可得PM的長，根據PQ∥x軸交BC于點Q，可得Q點的坐標，根據正方形的邊長相等，可得關于a的方程，根據解方程，可得P點坐標；
（3）根據平行線間的關系，可得DE的解析式，根據聯立方程組，可得D點坐標，根據勾股定理，可得ED的長，根據平行線間的距離相等，可得E到BC的距離與C到DE的距離相等，根據三角形的面積公式，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得m的值，根據代數式求值，可得答案．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC，且OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC，
設OB=-a，OA=2a，OC=-3a．
由AB關于x=$\frac{3}{2}$對稱，得
$\frac{-a+2a}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=3，B（3，0），A（6，0），C（0，-9）．
將A、B、C點的坐標代入拋物線解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-9}\end{array}\right.$，
拋物線的函數表達式y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9；

（2）設AC的解析式為y=k₁x+b₁，
將A、C點坐標，得$\left\{\begin{array}{l}{-6{k}_{1}+_{1}=0}\\{_{1}=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{3}{2}}\\{_{1}=9}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-9，
P在AC上，設P點坐標為（a，$\frac{3}{2}$a-9），PM=|$\frac{3}{2}$a-9|．
BC的解析式為y=-3x-9，
PQ∥x軸Q點的縱坐標為$\frac{3}{2}$a-9，
將Q點的縱坐標代入函數解析式，得-3x-9=$\frac{3}{2}$a-9，
解得x=-$\frac{a}{2}$．
PQ=a-（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{3}{2}$a，
由四邊形PMNQ為正方形，得PQ=PM，即$\frac{3}{2}$a=$\frac{3}{2}$a-9或$\frac{3}{2}$a=9-$\frac{3}{2}$a，
解得a=3，$\frac{3}{2}$a-9=-$\frac{9}{2}$，
四邊形PMNQ為正方形時點P的坐標是（3，-$\frac{9}{2}$）；
（3）E點坐標為（6-m，0），點E作直線l平行BC，
設DE的解析式為y=-3x+b，將E點坐標代入，得
-3（6-m）+b=0，．解得b=18-3m，
DE的解析式為y=-3x+18-3m，
聯立DE與AC，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+18-3m}\\{y=\frac{3}{2}x-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6-\frac{2}{3}m}\\{y=-m}\end{array}\right.$，
D點坐標為（6-$\frac{2}{3}$m，-m），
由勾股定理，得DE=$\sqrt{[（6-m）-（6-\frac{2}{3}m）]^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$m，
E到BC的距離$\frac{|3（6-m）+0+9|}{\sqrt{（-3）^{2}+1}}$=$\frac{|27-3m|}{\sqrt{10}}$，
E到BC的距離與D到BC的距離相等，得D到BC的距離是$\frac{27-3m}{\sqrt{10}}$，
S_△CDE=$\frac{1}{2}$•$\frac{27-3m}{\sqrt{10}}$$•\frac{\sqrt{10}m}{3}$=$\frac{1}{2}$[（-（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$]
當m=$\frac{9}{2}$時，S_△CDE最大．
即m=$\frac{9}{2}$，S_△CDE最大時，D到BC的距離是$\frac{27-3m}{\sqrt{10}}$=$\frac{27-3×\frac{9}{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{27\sqrt{10}}{20}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，（1）利用A、B關于x=$\frac{3}{2}$對稱，及OB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OC得出A、B、C的坐標是解題關鍵；（2）利用圖象上的點滿足函數解析式得出P點坐標，又利用平行于x軸的直線上點的縱坐標相等得出Q點坐標，利用正方形的性質得出關于a的方程是解題關鍵；（3）利用利用解方程組得出D點坐標，利用勾股定理得出DE的長，利用平行線間的距離相等得出E到BC的距離與C到DE的距離相等是解題關鍵，又利用了二次函數的性質．