Question

6．已知，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，將矩形ABCD折疊，使點C落在直線AB上的點P處，折痕與邊AD、BC分別交于E、F．若AP=1，則折痕EF的長為$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先證明PE=CE，PF=CF；設(shè)DE=λ，則AE=4-λ，運用勾股定理列出關(guān)于λ的方程，求出λ；同理可求CF；進而求出QF；運用勾股定理求出EF，即可解決問題．

解答 解：如圖1，過點E作EQ⊥BC于點M；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC=4，DC=AB=2；
由題意得：PE=CE，PF=CF；PA=PB=1；
設(shè)DE=λ，則AE=4-λ，
由勾股定理得：
CD²+DE²=AE²+AP²=PE²，
即2²+λ²=（4-λ）²+1²，
解得：λ=$\frac{13}{8}$；同理可求CF=$\frac{17}{8}$，
∴QF=$\frac{17}{8}-\frac{13}{8}$=$\frac{1}{2}$；而EQ=CD=2，
∴由勾股定理得：EF²=EQ²+FQ²，
解得：EF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

點評 該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用翻折變換的性質(zhì)等知識點來分析、判斷、解答．