Question

16．有一串分?jǐn)?shù)：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$…①$\frac{10}{10}$是第91個(gè)分?jǐn)?shù)，②第300個(gè)分?jǐn)?shù)是$\frac{（）}{（）}$．

Answer 1

分析 注意到這些分?jǐn)?shù)是分組依次向后排列的：
第一組：$\frac{1}{1}$，
第二組：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$
第三組：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$
第四組：$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，
…
依此類推．
每一組的中心分?jǐn)?shù)的分子分母相同；
每一組分?jǐn)?shù)的分母一樣，分子從中心分?jǐn)?shù)開始向兩邊依次遞減；
每一組分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，5，7，9，…（2n-1）；
每n組的中心分?jǐn)?shù)排在該組的第n個(gè)；
前n組的分?jǐn)?shù)總個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+…+（2n-1）=n²；
基于上述分析，答案易得．

解答 解：將這列分?jǐn)?shù)分組如下：
第一組：$\frac{1}{1}$，
第二組：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$
第三組：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$
第四組：$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，
…
每一組的中心分?jǐn)?shù)的分子分母相同；
每一組分?jǐn)?shù)的分母一樣，分子從中心分?jǐn)?shù)開始向兩邊依次遞減，
每一組分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，5，7，9，…（2n-1）；
每n組的中心分?jǐn)?shù)排在該組的第n個(gè)；
前n組的分?jǐn)?shù)總個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+…+（2n-1）=n²；

①前9組分?jǐn)?shù)的總個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+…+17=81，
$\frac{10}{10}$排在第十組的第10個(gè)位置，所以$\frac{10}{10}$是第91個(gè)分?jǐn)?shù)；
②前17組的分?jǐn)?shù)總個(gè)數(shù)為：17²=289，
前18組的分?jǐn)?shù)總個(gè)數(shù)為：18²=324，
300-289=11，
所以，第300個(gè)分?jǐn)?shù)在第18組的第11個(gè)位置，
所以，第300個(gè)分?jǐn)?shù)為：$\frac{11}{18}$．

點(diǎn)評 本題是數(shù)字規(guī)律題，考查學(xué)生對數(shù)列變化規(guī)律的觀察分析能力，有一定難度．看出數(shù)列是以分組的方式排列是解答本題的突破口和關(guān)鍵所在，同時(shí)解答過程用到了等差數(shù)列求和公式，這一點(diǎn)也需要同學(xué)們掌握．