Question

11．在平面直角坐標系中，如圖（1）△ABC的邊BC在x軸上，點A在y軸上，CD⊥AB，與y軸相交于點E，OB=OE，B（-3，0），△AOC的面積為18．

（1）求點A的坐標；
（2）如圖（2），過點A向右作射線l平行于x軸，點M在射線1上從點A出發(fā)向右運動，連接MC，過點C作CN⊥CM交y軸于點N，設線段AM的長度為x，請用含x的式子表示線段NE的長度，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點P在射線l上，在點M的運動過程中，是否存在P點，能使△NBP為等腰直角三角形？如果存在，請求P點的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，及OB=OE，利用AAS得到三角形COE與三角形AOB全等，利用全等三角形對應邊相等得到OC=OA，根據三角形AOC面積求出OA的長，確定出A的坐標即可；
（2）分三種情況考慮：當0≤x≤6時，作CH⊥l，如圖2①所示；當N與E重合時，x=9；如圖2②所示，當x＞9時，分別表示出NE即可；
（3）根據（2）分∠BNP和∠BPN分別為直角，分兩種情況求出P的坐標即可．

解答 解：（1）如圖1所示，

∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△COE和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠COE=∠AOB=90°}\\{OE=OB}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△AOB（AAS），
∴OC=OA，
∵△AOC的面積為18，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×OA×OA=18，即OA=6，
則A（0，6）；
（2）分三種情況考慮：
當0≤x≤6時，作CH⊥l，如圖2①所示，

則MH=6-x，
∵∠1+∠MCD=∠2+∠MCD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CON和△CHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CH=CO}\\{∠CHM=∠CON=90°}\end{array}\right.$，
∴△CON≌△CHM（AAS），
∴NO=MH=6-x，
則NE=6-x+3=9-x；
當N與E重合時，x=9，
當6＜x≤9時，△CON≌△CHM，
∴NO=HM=x-6，
∴NE=3-（x-6）=9-x；
如圖2②所示，當x＞9時，△CHM≌△CON，

∴HM=NO=x-6，
則NE=NO-3=x-9；
（3）在（2）的條件下，點P在射線l上，在點M的運動過程中，存在P點，能使△NBP為等腰直角三角形，
如圖3①所示，

當∠BNP=90°時，NB=NP，此時△BON≌△NAP（AAS），
∴NO=AP，OB=NA=3，
∴AP=3+6=9，此時P（9，6）；
如圖3②所示，

當∠BPN=90°時，PB=PN，可得△PAN≌△PHB，
∴PA=PH=6，
此時P（6，6）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．