Question

8．已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，則AB=AC；（填＞、＜或=）
（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，則AB=AC；（填＞、＜或=），并證明；
（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，某同學(xué)猜測結(jié)論AB=AC，你認(rèn)為這個結(jié)論正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請畫出不正確時的圖形（保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析 （1）通過證明△BOE≌△COF得到∠B=∠C，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）通過證明△BOE≌△COF得到∠OBE=∠OCF，由于OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠ABC=∠ACB，于是得的結(jié)論；
（3）過點(diǎn)O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點(diǎn)E、F，連接OB、OC，首先證明△BOE≌△COF，得到∠ABO=∠ACO，由OB=OC根據(jù)等邊對等角得∠OBC=∠OCB，進(jìn)而得到∠ABC=∠ACB，從而得出結(jié)論：AB=AC．

解答 解：（1）證明：如圖1，過點(diǎn)O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點(diǎn)E、F，
∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
在Rt△BOE與Rt△COF中$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）證明：如圖2，過點(diǎn)O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點(diǎn)E、F，
∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
在Rt△BOE與Rt△COF中$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF，
∴∠OBE=∠OCF，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立，
如圖3，證明：過點(diǎn)O作OE、OF分別與AB、AC垂直于點(diǎn)E、F，連接OB、OC，
∵點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，
∴OE=OF，
又∵OB=OC，
∴△BOE≌△COF（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO-∠OBC=∠ACO-∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
如圖4，此題不成立．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．