Question

6．如圖，△ABC、△ADE都是等邊三角形，點G為射線BD，CE的交點．
（1）求證：BD=CE；
（2）若AB=2，AE=1，將△ADE繞點A旋轉．
①當∠EAC=60°時，求GB的長；
②點N為CE的中點，在整個旋轉過程中，求線段AN長的范圍．

Answer 1

分析 （1）欲證明BD=CE，只要證明△ACE≌△BAD即可．
（2）①由∠EAC=60°，推出點E在線段AB上，由AB=2，AE=1，推出BE=AE，由CB=CA，推出CE平分∠BCA，CE⊥AB，推出∠ACE=∠ABD=30°，在R△tBEG中，BE=1，∠BEG=90°，∠EBG=30°，解直角三角形即可．
②求出AN的最大值和最小值即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，
∴∠EAC=∠DAB，
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BAD，
∴CE=BD．

（2）①解：如圖2中，

∵∠EAC=60°，
∴點E在線段AB上，
∵AB=2，AE=1，
∴BE=AE，∵CB=CA，
∴CE平分∠BCA，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠ABD=30°，
在R△tBEG中，BE=1，∠BEG=90°，∠EBG=30°，
∴BG=$\frac{BE}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

②解：如圖3中，當點N在線段AC上時，AN的值最大，最大值為$\frac{3}{2}$．

如圖4中，當點E在線段CA的延長線時，AN的值最小，最小值為$\frac{1}{2}$，

綜上所述，$\frac{1}{2}$≤AN≤$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用特殊位置解決最值問題，屬于中考�？碱}型．