Question

19．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且B（4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)M（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)|MC-MD|取得最大值時(shí)，求p的值；
（3）如果點(diǎn)E（m，n）是二次函數(shù)y=-x²+bx+8的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△ABE是鈍角三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b的方程可求得b的值，從而得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)M在直線CD上時(shí)，|MC-MD|取得最大值，先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到P的值；
（3）以AB為值經(jīng)作⊙F，⊙F交拋物線與點(diǎn)E，E′．y=0求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，然后可確定出圓心F的坐標(biāo)，設(shè)M（x，y）⊙F上的任意一點(diǎn)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得⊙F的解析式，將⊙F的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)E和E′的坐標(biāo)，最后依據(jù)圖形可確定出△ABE為鈍角三角形時(shí)m的取值范圍．

解答 解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：-16+4b+8=0，解得：b=2，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+8．
∵y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴D的坐標(biāo)為（1，9）．
（2）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=8，
∴C（0，8）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{k+b=9}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=8，
∴直線CD的解析式為y=x+8．
當(dāng)y=0時(shí)，x+8=0，解得：x=-8，
∴直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0）．
∵當(dāng)M在直線CD上時(shí)，|MC-MD|取得最大值，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-8，0）．
∴P=-8．
（3）如圖所示：以AB為值經(jīng)作⊙F，⊙F交拋物線與點(diǎn)E，E′．

令y=0得：-x²+2x+8=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
設(shè)M（x，y）⊙F上的任意一點(diǎn)．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：MF=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=3，
∴⊙F的解析式為：（x-1）²+y²=9．
將（x-1）²+y²=9與y=-（x-1）²+9聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-1）^{2}+9}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$
解得：y=0（舍去）或y=1．
將y=1代入拋物線的解析式得：-（x-1）²+9=1，
解得：x=1+2$\sqrt{2}$，或x=1-2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1-2$\sqrt{2}$，1），E′的坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{2}$，1）．
根據(jù)圖圖形可知當(dāng)m＜-2或-2＜m＜1-2$\sqrt{2}$或1+2$\sqrt{2}$＜m＜4或m＞4時(shí)，△ABE為鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、解二元二次方程組，明確點(diǎn)點(diǎn)M、C、D在一條直線上時(shí)，|MC-MD|取得最大值是解答問題（2）的關(guān)鍵，求得⊙F的解析式是解答問題（3）的關(guān)鍵．