Question

在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．
（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=20°，請(qǐng)求出∠DCA的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理,翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，由垂徑定理可知AE=

1

2

AC=

1

2

×2=1，根據(jù)翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，可知OE=

1

2

r，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理可得出r的值；
（2）連結(jié)BC，由于AB是直徑，所以∠ACB=90°，再根據(jù)∠BAC=20°，可得出∠B的度數(shù)，根據(jù)翻折的性質(zhì)，

AC

所對(duì)的圓周角等于

ADC

所對(duì)的圓周角，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E
則AE=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
∵翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，
∴OE=

1

2

r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（

1

2

r）²，解得r=

2 3

3

；

（2）如圖2，連結(jié)BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，

AC

所對(duì)的圓周角等于

ADC

所對(duì)的圓周角
∴∠DCA=∠B-∠A=70°-20°=50°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．