Question

6．如圖，已知線段AC為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，切點為A，B為⊙O上一點，且BC∥PO．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，PA=3，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)平行線的想知道的∠POA=∠BCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PBO=∠PAO，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過O作OH⊥BC于H，則CH=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)勾股定理得到OP=$\sqrt{10}$，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OB，
∵∠BCA=$\frac{1}{2}∠AOB$，
又∵BC∥OP，
∴∠POA=∠BCA，
∴∠POA=∠BOP，
在△AOP與△BOP中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠POA=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO=∠PAO，
又∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠OBP=90°，
又OB為⊙O的半徑，
∴PB為⊙O的切線；

（2）解：過O作OH⊥BC于H，則CH=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△AOP中，OP²=PA²+OA²=3²+1²=10，
又∵OP＞0，
∴OP=$\sqrt{10}$，
∵∠POA=∠BCA，
∴cos∠BCA=cos∠POA=$\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，
在Rt△OHC中，OC=1，cos∠BCA=$\frac{CH}{OC}$即$\frac{1}{{\sqrt{10}}}=\frac{CH}{1}$，
∴CH=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴BC=2CH=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．