Question

10．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下四個結論：
①AE=CF，②∠APE=∠CPF，③△EPF是等腰直角三角形，④EF=AP．
當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），上述結論中始終正確的序號有①②③．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形的性質可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根據同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正確，然后利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據全等三角形的性質可得AE=CF，判定①正確，再根據等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正確；根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍表示出EF，可知EF隨著點E的變化而變化，判定④錯誤．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°．
∴∠APF+∠CPF=90°．
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°．
∴∠APE=∠CPF，故②正確
在△APE和△CPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠CPF}\\{AP=PC}\\{∠EAP=∠C=45°}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA）．
∴AE=CF，故①正確．
∴△EFP是等腰直角三角形，故③正確．
根據等腰直角三角形的性質，EF=$\sqrt{2}$PE，
所以，EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=$\sqrt{2}$PE=AP，在其它位置時EF≠AP，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，根據同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，從而得到△APE和△CPF全等是解題的關鍵，也是本題的突破點．