Question

18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．已知E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（1）分別寫出點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)E作ME⊥EF交x軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在線段OC上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)G、E、F為點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)即可求出點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）先利用相似三角形的性質(zhì)求出△AEM∽△BFE，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AM的長，再根據(jù)OA=8即可求出OM的長，進(jìn)而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)G（0，n），過點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，利用勾股定理可求出GF、GE、EF的長，再分GF=GE、GE=EF、GF=EF三種情況，列出方程求出n的值即可．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴E（8，3），F(xiàn)（4，6）；

（2）∵M(jìn)E⊥EF，
∴∠BEF+∠AEM=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
又∵∠EAM=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，
∴$\frac{AM}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
即$\frac{AM}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴AM=$\frac{9}{4}$，
∴OM=OA-AM=8-$\frac{9}{4}$=$\frac{23}{4}$，
∴M（$\frac{23}{4}$，0）；（9分）

（3）如圖，

設(shè)G（0，n），
過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²=4²+（6-n）²，
在Rt△EGH中，GE²=GH²+EH²=8²+（3-n）²，
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF²=25，
①當(dāng)GE=GF時(shí)GE²=GF²，
即8²+（3-n）²=4²+（6-n）²，
解得n=-$\frac{7}{2}$（不合題意，舍去）；
②當(dāng)GE=EF時(shí)GE²=EF²，
即8²+（3-n）²=25，此方程無解；
③當(dāng)GF=EF時(shí)GF²=EF²，
即4²+（6-n）²=25，
解得n₁=3，n₂=9（不合題意，舍去），
綜上，存在點(diǎn)G（0，3），此時(shí)△GEF是等腰三角形．

點(diǎn)評 此題考查四邊形綜合題，綜合利用相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識解決問題．