Question

6．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度數(shù)．
小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決（如圖2）．
請回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于150°，圖2中∠PP′C的度數(shù)等于90°．
參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標為（-$\sqrt{3}$，1），連接AO．如果點B是x軸上的一動點，以AB為邊作等邊三角形ABC．當C（x，y）在第一象限內(nèi)時，求y與x之間的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即為∠APB的度數(shù)；再利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出DF=$\sqrt{3}$CF，進而得出函數(shù)解析式即可．

解答 解：閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′²+P′C²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；
故答案為：150°；90°；
如圖3，在y軸上截取OD=2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD，

∵點A的坐標為（-$\sqrt{3}$，1），
∴tan∠AOE=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=OD=2，∠AOE=30°，
∴∠AOD=60°．
∴△AOD是等邊三角形，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAB，
∴△ADC≌△AOB．
∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，
∴∠CDF=30°．
∴DF=$\sqrt{3}$CF．
∵C（x，y）且點C在第一象限內(nèi)，
∴y-2=$\sqrt{3}$x，
∴y=$\sqrt{3}$x+2（x＞0）．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與全等三角形是解題的關鍵．