Question

19．如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BA延長線上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點(diǎn)，AD分別于EF，GF交于I，H兩點(diǎn)．
（1）求∠FDE的度數(shù)；
（2）試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí)，
①求證：FD=FI；
②設(shè)AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可得到∠FDE=90°；
（2）由四邊形ABCD是菱形可得AB∥CD，要證四邊形FACD是平行四邊形，只需證明DF∥AC，只需證明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需證明∠AEB=90°，根據(jù)四邊形ABCD是菱形即可得到結(jié)論；
（3）①連接GE，如圖，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有$\widehat{DG}$=$\widehat{GE}$，根據(jù)圓周角定理可得∠1=∠2，根據(jù)等角的余角相等可得∠3=∠4，根據(jù)等角對等邊可得FD=DI；②易知S_⊙O=π（$\frac{3m}{2}$）²=$\frac{9}{4}$πm²，S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•2m•2n=2mn，要求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比，只需得到m與n的關(guān)系，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

解答 解：（1）∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°；

（2）四邊形FACD是平行四邊形．
理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°．
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四邊形FACD是平行四邊形；

（3）①連接GE，如圖．
∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)E為AC中點(diǎn)．
∵G為線段DC的中點(diǎn)，∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE．
∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°．
∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點(diǎn)，
∴DG=GE，
∴$\widehat{DG}$=$\widehat{GE}$，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI；
②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，∴EI=EA．
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=n，AE=$\frac{1}{2}$AC=m，F(xiàn)D=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．
在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得：
n²+（2m）²=（3m）²，
即n=$\sqrt{5}$m，
∴S_⊙O=π（$\frac{3m}{2}$）2=$\frac{9}{4}$πm²，S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•2m•2n=2mn=2$\sqrt{5}$m²，
∴S_⊙O：S_菱形ABCD=$\frac{9\sqrt{5}π}{40}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理、等角的余角相等、等角對等邊、平行線的性質(zhì)、勾股定理、圓及菱形的面積公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，證到IE=EA，進(jìn)而得到EF=3m是解決第3（2）小題的關(guān)鍵．