Question

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G．
（1）求證：內(nèi)切圓的半徑r=1；
（2）求tan∠OAG的值．

Answer 1

分析 （1）如圖連結(jié)OE，OF，OG．由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，得到四邊形CEOF是正方形，根據(jù)切線長(zhǎng)定理列方程得到結(jié)果；
（2）連結(jié)OA，在R_t△AOG中，由銳角三角函數(shù)得到結(jié)果．

解答 （1）證明：如圖連結(jié)OE，OF，OG．
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴CE=CF=r．
又∵AG=AE=3-r，BG=BF=4-r，AG+BG=5，
∴（3-r）+（4-r）=5．
解得r=1；
（2）解：連結(jié)OA，在R_t△AOG中，
∵r=1，AG=3-r=2，
tan∠OAG=$\frac{OG}{AG}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，銳角三角函數(shù)，熟記切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．