Question

4．如圖，拋物線與y軸相交于點(diǎn)A（0，2），與x軸相交于B（4，0）、C（$-\frac{1}{2}$，0）兩點(diǎn)．直線l經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

（1）分別求出直線l和拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）平行于y軸的直線x=2交拋物線于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)D．
①直線x=t（0≤t≤4）與直線l相交于點(diǎn)E，與拋物線相交于點(diǎn)F．若EF：DP=3：4，求t的值；
②將拋物線沿y軸上下平移，所得的拋物線與y軸交于點(diǎn)A′，與直線x=2交于點(diǎn)P′．當(dāng)P′O平分∠A′P′P時(shí)，求平移后的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，根據(jù)題意求出k、b即可得出直線l的函數(shù)表達(dá)式，再設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）①根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，求出EF的解析式，再根據(jù)平行于y軸的直線x=2交拋物線于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)D，求出DP，然后根據(jù)EF：DP=3：4，即可求出t的值；
②先根據(jù)拋物線沿y軸向上平移時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥PD，求出AP，再根據(jù)P′O平分∠A′P′P時(shí)，得出AO=A′P′，再根據(jù)四邊形A′APP′是平行四邊形，得出A′O=AP，求出AA′，從而得出平移后的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；再將拋物線沿y軸向下平移，過點(diǎn)A作AN⊥PD，得出A′N=2，根據(jù)四邊形APP′A′是平行四邊形，得出A′P′=AP的值，再根據(jù)P′O平分∠A′P′P時(shí)，∠A′P′O=∠PP′O，得出A′O=A′P′，求出AA′的值，從而得出拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

解答 解：（1）設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，
根據(jù)題意得；$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=-$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx+c（a≠0），
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{0=16a+4b+c}\\{0=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，

（2）①∵直線x=t（0≤t≤4）與直線l相交于點(diǎn)E，與拋物線相交于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（t，-$\frac{1}{2}$t+2），F(xiàn)的坐標(biāo)是（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
∴EF=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t，
∵平行于y軸的直線x=2交拋物線于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，5），D的坐標(biāo)是（2，1），
∴DP=4，
若EF：DP=3：4，則（-t²+4t）：4=3：4，
解得t=1或t=3；
②如圖1：將拋物線沿y軸向上平移，所得的拋物線與y軸交于點(diǎn)A′，與直線x=2交于點(diǎn)P′，
過點(diǎn)A作AM⊥PD，
則AM=2，PM=3，
AP=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
當(dāng)P′O平分∠A′P′P時(shí)，∠A′P′O=∠PP′O，
∵AO∥P′P，
∴∠A′OP′=∠PP′O，
∴∠A′P′O=∠A′OP′，
∴AO=A′P′，
∵A′A=PP′，
∴四邊形A′APP′是平行四邊形，
∴A′O=AP=$\sqrt{13}$，
∴AA′=$\sqrt{13}$-2，
∴平移后的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2+$\sqrt{13}$-2=-x²+$\frac{7}{2}$x+$\sqrt{13}$；
如圖2：將拋物線沿y軸向下平移，所得的拋物線與y軸交于點(diǎn)A′，與直線x=2交于點(diǎn)P′，
過點(diǎn)A作AN⊥PD，
則A′N=2，
∵AA′∥P′P，A′A=PP′，
∴四邊形APP′A′是平行四邊形，
∠A′OP′=∠PP′O，
∴A′P′=AP=$\sqrt{13}$，
∵當(dāng)P′O平分∠A′P′P時(shí)，∠A′P′O=∠PP′O，
∴∠A′OP′O=∠A′P′O，
∴A′O=A′P′=$\sqrt{13}$，
∴AA′=$\sqrt{13}$+2，
∴平移后的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2-（$\sqrt{13}$+2）=-x²+$\frac{7}{2}$x-$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、平行線和平行四邊形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的移動(dòng)等，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分情況討論結(jié)果．