Question

10．在如圖平面直角坐標(biāo)系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃…按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)B₁在y軸上，點(diǎn)C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x軸上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…則正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的邊長(zhǎng)是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 利用正方形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出變化規(guī)律即可得出答案．

解答 解：如圖所示：∵正方形A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=$\frac{1}{2}$，則B₂C₂=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）¹，
同理可得：B₃C₃=$\frac{1}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的邊長(zhǎng)是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）^n-1．
則正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的邊長(zhǎng)是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴．
故答案是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出正方形的邊長(zhǎng)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．