Question

6．如圖，O在AC上，⊙O與BC相切于點C，與AB相切于P，AC=3，BC=4，連接CP．則AP的長為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． 2.5
• D． 1.2

Answer 1

分析 連接半徑OP，先證明△AOP∽△ABC，列比例式，得$\frac{AP}{OP}=\frac{3}{4}$，設AP=3x，OP=4x，在Rt△AOP中，根據(jù)勾股定理列方程得：（3-4x）²=（3x）²+（4x）²，解出即可求出AP的長．

解答 解：連接OP，
∵AB為⊙O的切線，
∴OP⊥AB，
∴∠OPA=90°，
∵⊙O與BC相切于點C，
∴∠ACB=90°，
∴∠OPA=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△AOP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{OP}{BC}$，
∴$\frac{AP}{3}=\frac{OP}{4}$，
∴$\frac{AP}{OP}=\frac{3}{4}$，
設AP=3x，OP=4x，則OC=4x，AO=3-4x，
在Rt△AOP中，AO²=OP²+AP²，
（3-4x）²=（3x）²+（4x）²，
解得：x₁=-3（舍），x₂=$\frac{1}{3}$，
∴AP=3x=3×$\frac{1}{3}$=1，
故選B．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和三角形相似的判定和性質(zhì)，明確圓的切線垂直于過切點的半徑，此類題若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．同時利用了三角形相似得出OP和AP的關系，設未知數(shù)，列方程求解．