Question

2．把兩塊含45°角的直角三角板按圖1所示的方式放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE、AD，AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：BE=AD，AF⊥BE；
（2）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2），連結(jié)BE、AD，AD分別交BE、BC于點(diǎn)F、G，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知：對(duì)應(yīng)邊相等AD=BE、對(duì)應(yīng)角相等∠BEC=∠ADC；加上已知條件來(lái)求∠AFE=90°即可；
（2）成立，利用已知條件可證明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)以及已知條件證明即可證明BE=AD，AF⊥BE．

解答 （1）證明：在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠BCE=∠ACD=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACD中，
∵∠CDA+∠CAD=90°，∠BDF=∠CDA
∴∠BDF+∠DBF=90°，
即：AF⊥BE；
（2）成立，理由如下：
在△BCE和△ACD中，
∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
在Rt△ACG中，
∵∠CGA+∠CAG=90°，∠BGF=∠CGA．
∴∠BGF+∠GBF=90°，
即：AF⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．