Question

11．己知在△ABC和△ABD中，∠DAB=∠ABC=90°，DA=AB=BC=6$\sqrt{2}$cm，P為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1cm的速度從B勻速運(yùn)動(dòng)到D，過P作直線PQ⊥AP，且PQ=AP，直線PQ交AC于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，t=0s當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，t=6s；
（2）當(dāng)∠PAC=30°時(shí)，求t的值．
（3）設(shè)CM=y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；并直接寫出當(dāng)0≤t≤9時(shí)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長．
（4）點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，△ABQ的面積會(huì)改變嗎？請(qǐng)說明理由．如果不變，并請(qǐng)求出它的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象確定點(diǎn)P位置即可解決問題．
（2）分兩種情形①點(diǎn)P在OB上，②點(diǎn)P在OD上時(shí)求出OP即可解決問題．
（3）分兩種情形①如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，CM的路徑分兩段求出開始6s的路徑，后3s的路徑即可解決問題．
（4）△ABQ的面積不變，分兩種情形證明即可①當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，如圖6中，作QH⊥BD于H，根據(jù)S_△ABQ=S_△ABP+S_△QBP+S_△APQ計(jì)算即可．
②當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，如圖7中，作QH⊥BD于H，根據(jù)S_△ABQ=S_△ABP+S_△APQ-S_△QBP計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1中，AC由BD交于點(diǎn)O，
∵∠DAB=∠ABC=90°，DA=AB=BC=6$\sqrt{2}$cm，
∵∠BAC=∠ABD=45°，
∴OA=OB=OD=6，

當(dāng)Q與C重合時(shí)，點(diǎn)P與B重合，此時(shí)t=0．
當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，點(diǎn)P與O重合，此時(shí)t=6．
故答案為0s，6s．

（2）①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，

∵∠PAO=30°，∠AOP=90°，OA=6，
∴PO=OA•tan30°=2$\sqrt{3}$，
∴PB=6-2$\sqrt{3}$，
∴t=6-2$\sqrt{3}$
②如圖3中，當(dāng)P在OD上時(shí)，

易知OP=2$\sqrt{3}$，BP=6+2$\sqrt{3}$，此時(shí)t=6+2$\sqrt{3}$．
綜上所述，t=（6-2$\sqrt{3}$）s或（6+2$\sqrt{3}$）s時(shí)，∠PAC=30°．

（3）①如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，

∵△AOP∽△APM，
∴$\frac{AP}{AM}$=$\frac{OA}{AP}$，
∴AP²=OA•AM，
∴（6-t）²+6²=6（12-y），
∴y=-$\frac{1}{6}$t²+2t．
②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，

同法由PA²=AO•AM，
∴6²+（t-6）²=6（12-y），
∴y=-$\frac{1}{6}$t²+2t．
綜上所述，y=-$\frac{1}{6}$t²+2t，（0≤t≤12），
∵y=-$\frac{1}{6}$（t-6）²+6，
∴t=6時(shí)，y的最大值為6，
又∵t=9時(shí)，y=4.5，
∴此時(shí)OM=1.5，
∴0≤t≤9時(shí)，CM運(yùn)動(dòng)的路徑為6+1.5=7.5cm．

（4）結(jié)論：S_△ABQ的值不變．理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，如圖6中，作QH⊥BD于H．

∵AP=PQ，∠APO=∠PQH，∠AOP=∠PHQ，
∴△APO≌△PQH，
∴QH=OP=6-t，
∴S_△ABQ=S_△ABP+S_△QBP+S_△APQ=$\frac{1}{2}$•t•6+$\frac{1}{2}$•t•（6-t）+$\frac{1}{2}$[6²+（6-t）²]=36．

②當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，如圖7中，作QH⊥BD于H．

同理可證QH=OP=t-6，
S_△ABQ=S_△ABP+S_△APQ-S_△QBP=$\frac{1}{2}$•t•6+$\frac{1}{2}$•t•（t-6）-$\frac{1}{2}$[6²+（t-6）²]=36．
∴△ABQ的面積為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)用分割法求三角形的面積，屬于中考?jí)狠S題．