Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)Q在x軸上方），設(shè)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，連接AC，在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)M，使得以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接代入求得函數(shù)解析式即可，由點(diǎn)D與C對(duì)稱求得點(diǎn)D坐標(biāo)即可；
（2）由特殊角的三角函數(shù)值得出∠DAP=60°，則點(diǎn)Q一直在直線AD上運(yùn)動(dòng)，分別探討當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上；點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在線段OB上以及點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在線段OB上時(shí)的重疊面積，利用三角形的面積計(jì)算公式求得答案即可；
（3）由于OC=$\sqrt{3}$，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形，分兩種情況探討：當(dāng)△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時(shí)；當(dāng)△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時(shí)；得出答案即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+\sqrt{3}=0}\\{a+b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，$\sqrt{3}$）．
（2）∵點(diǎn)D與A橫坐標(biāo)相差1，縱坐標(biāo)之差為$\sqrt{3}$，則tan∠DAP=$\sqrt{3}$，
∴∠DAP=60°，
又∵△APQ為等邊三角形，
∴點(diǎn)Q始終在直線AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)可知：AP=AD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在線段AO上，此時(shí)△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積．
AP=t，
∵∠QAP=60°，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t×t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²．
②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖：

此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在OA上，
設(shè)QP與DC交于點(diǎn)H，
∵DC∥AP，
∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，
∴△QDH是等邊三角形，
∴S=S_△QAP-S_△QDH，
∵QA=t，
∴S_△QAP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²．
∵QD=t-2，
∴S_△QDH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-2）²=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$．
③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖：

此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在線段OB上，
設(shè)QP與DC交于點(diǎn)E，與OC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作AP的垂涎，垂足為G，
∵OP=t-3，∠FPO=60°，
∴OF=OP•tan60°=$\sqrt{3}$（t-3），
∴S△FOP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（t-3）（t-3）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-3）²，
∵S=S_△QAP-S_△QDE-S_△FOP，S_△QAP-S_△QDE=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$．
∴S=$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-3）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-$\frac{11}{2}$$\sqrt{3}$．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{\sqrt{3}t-\sqrt{3}（2＜t≤3）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t-\frac{11}{2}\sqrt{3}（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）∵OC=$\sqrt{3}$，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形．
①當(dāng)△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時(shí)；如圖：

過(guò)點(diǎn)M₂作AO的垂線，垂足為N，
∵∠M₂AO=30°，AO=3，
∴M₂O=$\frac{3}{2}$，
又∵∠OM₂N=M₂AO=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OM₂=$\frac{3}{4}$，M₂N=$\sqrt{3}$ON=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
∴M₂的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
同理可得M₁的坐標(biāo)為（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
②當(dāng)△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時(shí)；如圖：

∵以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，
∴$\frac{OA}{AM}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{AM}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∵OA=3，
∴AM=$\sqrt{3}$或AM=3$\sqrt{3}$，
∵AM⊥OA，且點(diǎn)M在第二象限，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，$\sqrt{3}$）或（-3，3$\sqrt{3}$）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的所有可能的坐標(biāo)為（-3，$\sqrt{3}$），（-3，3$\sqrt{3}$），（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，圖形的運(yùn)動(dòng)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，特殊角的三角函數(shù)，三角形的面積，分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．