Question

15．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD=12，BD=9，AC=20，求證：∠BAC=90°．

Answer 1

分析 直角△ACD中首先利用勾股定理求得CD的長，則可以證明△ABD∽△CAD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等以及直角三角形的兩銳角互余可以證明∠B+∠C=90°，然后利用三角形內(nèi)角和定理證得．

解答 證明：在直角△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∵$\frac{12}{9}$=$\frac{16}{12}$，即$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{AD}$，
又∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD，
又∵直角△ABD中，∠B+∠BAD=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，和直角三角形的兩銳角互余，正確證明△ABD∽△CAD是關(guān)鍵．