Question

12．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，12）兩點，且對稱軸為直線x=4．設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；
（2）如圖，在直線y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進而得出答案；
（2）首先求出直線BP的解析式，進而利用當(dāng)BD=OP時，得出x的值，即當(dāng)x=$\frac{2}{5}$時四邊形OPBD為等腰梯形．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=4}\\{c=12}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-8}\\{c=12}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-8x+12，
點P的坐標(biāo)為（4，-4）；

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形；
理由：如圖所示：
當(dāng)y=0時，x²-8x+12=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴點B的坐標(biāo)為（6，0），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m，
則$\left\{\begin{array}{l}{6k+m=0}\\{4k+m=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=-12}\end{array}\right.$，
∴直線BP的解析式為y=2x-12，
∴直線OD∥BP，
∵頂點坐標(biāo)P（4，-4），
∴OP=4$\sqrt{2}$，
設(shè)D（x，2x），則BD²=（2x）²+（6-x）²，
當(dāng)BD=OP時，（2x）²+（6-x）²=32，
解得x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=2；，
當(dāng)x=2時，OD=BP=2$\sqrt{5}$，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{5}$時四邊形OPBD為等腰梯形，
∴當(dāng)D（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$）時，四邊形OPBD為等腰梯形．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及等腰梯形的性質(zhì)與判定以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，熟練應(yīng)用等腰梯形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．