Question

12．△ABC是等邊三角形，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將線段CA按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，連接BD交AC于點(diǎn)O．

（1）如圖1．
①求證：AC垂直平分BD；
①點(diǎn)M在BC的延長線上，點(diǎn)N在線段CO上，且ND=NM，連接BN，判斷△MND的形狀，并加以證明；
（2）如圖2，點(diǎn)M在BC的延長線上，點(diǎn)N在線段AO上，且ND=NM，補(bǔ)全圖2，求證：NA=MC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法，證明△AND≌△CMD，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．

解答 證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
①以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將線段CA按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，
∴CD=CA，∠ACD=∠ACB=60°，
∴BO=DO，CO⊥BD，
∴AC垂直平分BD；

②△MND是等邊三角形，
如圖1，由①知AC垂直平分BD，

∴NB=ND，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠1=∠2，
∴∠BND=180°-2∠2，
∵ND=NM，
∴NB=NM，
∴∠3=∠4，∠BNM=180°-2∠4，
∴∠DNM=360°-180°+2∠2-180°+2∠4=2（∠2+∠4）=60°，
∴△MND是等邊三角形；

（2）連接AD，BN，如圖2，

由題意知，△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC=60°，AD=CD，
與（1）同理可證∠1=∠2，∠3=∠NBM，
∠BND=180°-2∠2，∠BNM=180°-2∠NBM，
∴∠MND=∠BND-∠BNM=2（∠NBM-∠2）=60°，
∵ND=NM，
∴△MND是等邊三角形，
∴DN=DM，∠NDM=60°，∠ADC=∠NDM，
∴∠NDA=∠MDC，
在△AND與△MDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DN=DM}\\{∠NDA=∠NDM}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△CMD，
∴NA=MC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線段的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)等，解決此題的關(guān)鍵是能將三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)靈活的應(yīng)用．