Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2$\sqrt{3}$，以AB為邊向左作菱形ABDE，使∠BAE=60°，AD，BE相交于點(diǎn)O，則CO的長是（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 作OH⊥BC于H．，取AB的中點(diǎn)K，連接OK、CK．首先證明B、O、C、A四點(diǎn)共圓，推出∠OCB=30°，設(shè)OH=x，則OC=2x，HC=$\sqrt{3}$x，易知AB=$\sqrt{13}$，OB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，在Rt△OBH中，根據(jù)OB²=BH²+OH²，列出方程即可解決問題．

解答 解：作OH⊥BC于H．，取AB的中點(diǎn)K，連接OK、CK．

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAE=60°
∴AD⊥BE，△ABE是等邊三角形，
∴∠AOB=∠ACB=90°，∠ABE=60°
∵BK=KA，
∴OK=KB=AK=CK，
∴B、O、C、A四點(diǎn)共圓，
∴∠OCH=∠OAB=30°，
設(shè)OH=x，則OC=2x，HC=$\sqrt{3}$x，
易知AB=$\sqrt{13}$，OB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
在Rt△OBH中，∵OB²=BH²+OH²，
∴（$\frac{\sqrt{13}}{2}$）²=x²+（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）²，
解得x=$\frac{7}{4}$或$\frac{9}{4}$（舍棄），
∴OC=2x=$\frac{7}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．