Question

7．【寫在前面】我們知道菱形的面積不僅可以用底乘以高來求，而且知道菱形的面積等于對角線乘積的一半．那么我們?nèi)粘Ｉ�活中常見的風(fēng)箏的形狀即“箏形”是不是也可以用這種方法求面積呢？如圖1，四邊形ABCD是我們常見的風(fēng)箏的圖案，其中對角線BD長為20cm，AC長為40cm，AC垂直平分BD，垂足為E，求箏形ABCD的面積．
解析：由已知：S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$×BD×AE+$\frac{1}{2}$×BD×CE
=$\frac{1}{2}$×BD×（AE+CE）=$\frac{1}{2}$×BD×AC．我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論對于箏形依然成立．
【類比總結(jié)】
滿足什么條件的圖形可以通過這種方法求面積呢？讓我們先研究下面圖形的面積：
如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD互相垂直，其中對角線BD長為20cm，AC長為15cm，垂足為E，求四邊形ABCD的面積．（請寫出求解過程）
研究到這里，我們可以得出一個(gè)結(jié)論：
結(jié)論1：對角線互相垂直的四邊形的面積等于兩對角線積的一半．
【拓展提高】
通過結(jié)論1的研究對于普通的對角線不垂直的四邊形的面積的求解能不能有什么啟示呢？下面讓我們一起來研究．
如圖3所示四邊形ABCD的對角線BD長為20cm，點(diǎn)A到BD的距離與點(diǎn)C到BD的距離之和為15cm，求四邊形ABCD的面積．（請寫出求解過程）
結(jié)論2：任意四邊形的面積等于一條對角線和另一條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)到這條對角線的距離之和積的一半．
【小試牛刀】
（1）如圖4，矩形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，EF∥AD，點(diǎn)G、H分別是AD、BC上任一點(diǎn)，則四邊形EGFH的面積等于12cm²．
（2）如圖5，四邊形ABCD放在了一組平行線中，已知BD=6cm，四邊形ABCD的面積為24cm²，則兩條平行線間的距離為2cm．

Answer 1

分析 根據(jù)求出的結(jié)果得出結(jié)論即可；根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案；
（1）過H作HM⊥EF于M，過G作GN⊥EF于N，求AB=HM+GN，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（2）過A作AM⊥BD于M，過C作CN⊥BD于N，根據(jù)三角形的面積求出AM+CN，即可得出答案．

解答 解：結(jié)論1：對角線互相垂直的四邊形的面積等于兩對角線積的一半，
如圖3，

連接BD，過A作AN⊥BD于N，過C作CM⊥BD于M，
S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD×AN+$\frac{1}{2}$BD×CM
=$\frac{1}{2}$BD×（AN+CM）
=$\frac{1}{2}$×20cm×15cm
=150cm²，
即任意四邊形的面積等于一條對角線和另一條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之和積的一半，
故答案為：兩對角線積的一半，一條對角線和另一條對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離之和積的一半；

（1）如圖4，過H作HM⊥EF于M，過G作GN⊥EF于N，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，∠A=∠B=90°，
∵EF∥AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，EF∥BC，
∴EF=AD=6cm，
∵HM⊥EF，
∴∠AEF=∠HMF=90°，
∴AE∥HM，
∵AH∥EM，∠A=90°，
∴四邊形AEMH是矩形，
∴AE=HM，
同理BE=GN，
∴HM+GN=AB=4cm，
∴S_{四邊形EGFH}=S_△HEF+S_△GEF
=$\frac{1}{2}$EF×HM+$\frac{1}{2}$EF×GN
=$\frac{1}{2}$EF×（HM+GN）
=$\frac{1}{2}$EF×AB
=$\frac{1}{2}$×6cm×4cm
=12cm²，
故答案為：12；

（2）如圖5，過A作AM⊥BD于M，過C作CN⊥BD于N，

S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD
=$\frac{1}{2}$BD×AM+$\frac{1}{2}$BD×CN
=$\frac{1}{2}$BD×（AM+CN），
即$\frac{1}{2}$×6cm×（AM+CN）=24cm²，
解得：AM+CN=8cm，
即兩條平行線間的距離為2cm．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的面積，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，此題是一道中檔題目，難度適中．