Question

3．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E
（1）求證：DE=AB；
（2）以A為圓心，AB長為半徑作圓弧交AF于點(diǎn)G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根據(jù)AAS推出△ABF≌△DEA即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=DG=AB=$\sqrt{3}$，∠GDE=∠BAF=30°，根據(jù)扇形的面積公式求得求出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°=∠B，
在△ABF和△DEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠DAE}\\{∠B=∠DEA}\\{AF=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴DE=AB；

（2）解：∵BC=AD，AD=AF，
∴BC=AF，
∵BF=1，∠ABF=90°，
∴由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAF=30°，
∴扇形ABG的面積=$\frac{30π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了弧長公式，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．