Question

12．如圖是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間，下列結(jié)論：
①c-a=n；
②拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則-2＜m＜-1；
③當(dāng)x＜0時(shí)，ax²+（b+2）x＜0；
④一元二次方程ax²+（b-$\frac{1}{2}$）x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①將頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，n）代入拋物線的解析式中，列兩式可得結(jié)論；
②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得：AD=BD，列不等式結(jié)論；
③設(shè)y=ax²+（b+2）x，把它看作另一個(gè)二次函數(shù)，此二次函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且另一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，由此作判斷；
④根據(jù)△的取值作判斷．

解答 解：①∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴-$\frac{2a}$=1，b=-2a，
a+b+c=n，
a-2a+c=n，
∴-a+c=n，
c-a=n，
所以選項(xiàng)①正確；
②如圖1，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為A和B（A在B的右側(cè)），
則3-1＜AD＜4-1，
2＜AD＜3，
由對(duì)稱性得：AD=BD，
∴2＜BD＜3，
∵B（m，0），
∴BD=1-m，
∴2＜1-m＜3，
∴-2＜m＜-1，
所以選項(xiàng)②正確；
③∵由圖可知：拋物線y=ax²+bx+c開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∴拋物線y=ax²+（b+2）x也開(kāi)口向下，且過(guò)原點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，ax²+（b+2）x=0，
x（ax+b+2）=0，
x₁=0，x₂=$\frac{-b-2}{a}$=$\frac{2a-2}{a}$2-$\frac{2}{a}$＞0，如圖2所示，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，y=ax²+（b+2）x＜0，
即當(dāng)x＜0時(shí)，ax²+（b+2）x＜0；
所以選項(xiàng)③正確；
④ax²+（b-$\frac{1}{2}$）x+c=0，
△=（b-$\frac{1}{2}$）²-4ac，
∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（b-$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴△＞0，
∴一元二次方程ax²+（b-$\frac{1}{2}$）x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
所以選項(xiàng)④正確；
其中正確結(jié)論是：①②③④，4個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），明確以下幾點(diǎn)：
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；
②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；
③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）：
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．