Question

9．⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過(guò)$\widehat{BC}$的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG交弦$\widehat{BC}$于點(diǎn)D，連接AG、CP、PB．
（1）如圖1，若D是線段OP的中點(diǎn)，求tan∠BAC的值；
（2）如圖2，在DG上取一點(diǎn)K，使DK=DP，連接CK，若KG=2，KP=6，求CK的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)垂徑定理得到PG⊥BC，則BD垂直平分OP，于是可判斷△OBP為等邊三角形，所以∠BOP=60°，然后估計(jì)圓周角定理得到∠BAC=∠BOP=60°；
（2）由垂徑定理得到PD⊥BC，CD=BD，根據(jù)勾股定理得到BD=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，CD=$\sqrt{15}$，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB為⊙O直徑，點(diǎn)P是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°．
∵D為OP的中點(diǎn)，
∴BD垂直平分OP，
∴BP=BO，
而OB=OP，
∴△OBP為等邊三角形，
∴∠BOP=60°，
∴∠BAC=∠BOP=60°，
∴tan∠BAC=$\sqrt{3}$；
（2）∵點(diǎn)P是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴PD⊥BC，CD=BD，
∵KG=2，KP=6，
∴OB=OP=4，
∴DK=DP=3，
∴OD=1，
∴BD=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CD=$\sqrt{15}$，
∴CK=$\sqrt{C{D}^{2}+D{K}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{15}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意是解題的關(guān)鍵．