Question

5．如圖，點(diǎn)E、F在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且BE：BF=1：4，過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P，已知△OEP的面積為2．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果直線EF的解析式是y=-x+n，計(jì)算△OEF的面積．

Answer 1

分析 （1）作EC⊥x軸于C，F(xiàn)D⊥x軸于D，F(xiàn)H⊥y軸于H，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義由△OEP的面積為2易得k=4．
（2）求得反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，再證明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，$\frac{4}{t}$），則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（4t，$\frac{4}{4t}$），由于S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，S_△OFD=S_△OEC=2，所以S_△OEF=S_梯形ECDF，然后根據(jù)梯形面積公式計(jì)算．

解答 解：（1）作EC⊥x軸于C，F(xiàn)D⊥x軸于D，F(xiàn)H⊥y軸于H，如圖，
∵△OEP的面積為2，
∴$\frac{1}{2}$|k|=2，
而k＞0，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，

（2）∵EP⊥y軸，F(xiàn)H⊥y軸，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴$\frac{PE}{HF}$=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{4}$，即HF=4PE，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，$\frac{4}{t}$），則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（4t，$\frac{4}{4t}$），
∵S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，
而S_△OFD=S_△OEC=2，
∴S_△OEF=S_梯形ECDF=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{4t}$+$\frac{4}{t}$）（4t-t）
=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義；會(huì)利用相似比確定線段之間的關(guān)系．