Question

18．操作與探究：某校七年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖①所示位置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），如圖②，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=20°時(shí)，∠AMB=100°．
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=60°°時(shí)，△ABM是正三角形．
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ABM中，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠AMB的度數(shù)；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠B=∠α=∠AMB=60°；
（3）當(dāng)∠CNP=90°時(shí)，依據(jù)對(duì)頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的定義可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對(duì)頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠B=60°，∠α=20°，
∴∠AMB=180°-60°-20°=100°．
故答案為：100°．
（2）∵△ABM為正三角形，
∴∠B=∠α=∠AMB=60°．
故答案為：60°．
（3）如圖1所示：當(dāng)∠CNP=90°時(shí)．

∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°-60°-90°=30°．
∴∠α=30°．
如圖2所示：當(dāng)∠CPN=90°時(shí)．

∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
綜上所述，∠α=30°或60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．