Question

16．如圖，已知⊙O的直徑AB=12cm，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接BC．
（1）求證：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，點(diǎn)Q在優(yōu)弧ABC上，從點(diǎn)A開(kāi)始逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止（點(diǎn)Q與點(diǎn)C不重合），當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明：連接OC，由PC是⊙O的切線，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠2+∠B=90°，于是得到結(jié)論；
（2）當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，求得點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{50•π•6}{180}$=$\frac{5π}{3}$，當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí)，即∠AOQ=130°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，求得點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{130•π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$，當(dāng)∠BOQ=50°時(shí)，即∠AOQ=230°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等．

解答 （1）證明：連接OC，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCO=90°，
∴∠1+∠PCA=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠PCA=∠B；

（2）解：∵∠P=40°，
∴∠AOC=50°，
∵AB=12，
∴AO=6，
當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，
∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{50•π•6}{180}$=$\frac{5π}{3}$，
當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí)，即∠AOQ=130°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，
∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{130•π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$，
當(dāng)∠BOQ=50°時(shí)，即∠AOQ=230°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，
∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=$\frac{230•π•6}{180}$=$\frac{23π}{3}$，
∴當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為$\frac{5π}{3}$或$\frac{13π}{3}$或$\frac{23π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，弦切角定理，弧長(zhǎng)的求法，熟練掌握定理和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．