Question

4．如圖是拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個交點(diǎn)B（4，0），直線y₂=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax²+bx+c=3有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)是（-1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y₂＜y₁，
其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①③⑤
• D． ②④⑤

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進(jìn)行判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可得c＞0，于是可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性對④進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當(dāng)1＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對⑤進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），
∴拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=1，
∴2a+b=0，所以①正確；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②錯誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），
∴x=1時，二次函數(shù)有最大值，
∴方程ax²+bx+c=3有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為（4，0）
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（-2，0），所以④錯誤；
∵拋物線y₁=ax²+bx+c與直線y₂=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點(diǎn)（4，0）
∴當(dāng)1＜x＜4時，y₂＜y₁，所以⑤正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了二次項(xiàng)系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．