Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，內(nèi)切圓O與各邊分別切于點(diǎn)D、E、F
（1）求證：四邊形OECF為正方形；
（2）若AB=6，BC=4，求AC的長(zhǎng)和⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)切線的性質(zhì)得出CE=CF，∠OEF=∠OFC=90°，再由∠C=90°即可得出結(jié)論；
（2）連接OA，OB，OC，OD，先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再設(shè)⊙O的半徑為r，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BC、AC是⊙O的切線，
∴CE=CF，∠OEF=∠OFC=90°．
∵∠C=90°，
∴四邊形OECF為正方形；

（2）連接OA，OB，OC，OD，
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-{BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
設(shè)⊙O的半徑為r，則S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC+S_△AOB=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•r，
即8$\sqrt{5}$=（2$\sqrt{5}$+6+4）r，解得r=$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟知三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．