Question

8．已知二次函數(shù)y=ax²+bx-3經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
（1）求二次函數(shù)解析式及對稱軸方程；
（2）連接BC，交對稱軸于點(diǎn)E，求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在第四象限內(nèi)拋物線上是否存一點(diǎn)H，使得四邊形ACHB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)H坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求解析式，利用對稱軸公式求對稱軸方程；
（2）利用求BC解析式求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-2）；
（3）分別以△BCM的三邊為腰畫等腰三角形，與y軸有四個(gè)交點(diǎn)，分別求出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（4）設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），因?yàn)镠在第四象限，可以取H的縱坐標(biāo)的相反數(shù)為△OBH的高，利用面積和表示四邊形ACHB的面積，利用二次函數(shù)的最值得結(jié)論．

解答 解：（1）將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx-3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-2，
所以二次函數(shù)解析式為y=x²-2x-3，
對稱軸方程為：直線x=-$\frac{-2}{2×1}$=1；

（2）如圖1，y=x²-2x-3，
∴C（0，-3），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），
把B（3，0）和C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，
∴E（1，-2）；

（3）存在：
如圖2，有四種情況：
①當(dāng)BC=BM₁時(shí)，
∵x軸⊥y軸，
∴OM₁=OC=3，
∴M₁（0，3），
②當(dāng)BC=CM₂時(shí)（M₂在點(diǎn)C的上方），
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CM₂=3$\sqrt{2}$，
∴OM₂=3$\sqrt{2}$-3，
∴M₂（0，3$\sqrt{2}$-3），
③當(dāng)BC=CM₃時(shí)（M₃在C的下方），
∴OM₃=3$\sqrt{2}$+3，
∴M₃（0，-3-3$\sqrt{2}$），
④作BC的中垂線，交BC于E，交y軸于M₄，
cos∠M₄CB=$\frac{CE}{C{M}_{4}}=\frac{OC}{BC}$，
∴$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{C{M}_{4}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
CM₄=3，即M₄與原點(diǎn)O重合，
∴M₄（0，0），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（0，3），M₂（0，3$\sqrt{2}$-3），M₃（0，-3-$3\sqrt{2}$），M₄（0，0）；

（4）如圖3，連接OH，設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
S_{四邊形ACHB}=S_△AOC+S_△COH+S_△BOH，
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$|x²-2x-3|，
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$（-x²+2x+3），
=-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+$\frac{9}{2}$x+6，
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{75}{8}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形ACHB的面積最大，
∴當(dāng)x₀=$\frac{3}{2}$時(shí)，x₀²-2x₀-3=$-\frac{15}{4}$，
所以點(diǎn)H坐標(biāo)為$（\frac{3}{2}，-\frac{15}{4}）$．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，難度適中，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)和判定、多邊形面積的求法，采用了分類討論的思想，屬于�？碱}型，將四邊形面積的最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解決，也是數(shù)學(xué)中常用的解題思路，要熟練掌握．