Question

12．如圖，正方形ABCD中，AB=4，P是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)不與C、D重合），過(guò)點(diǎn)P作直線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，且CP=CE，連接DE、BP、BF，設(shè)CP═x，△PBF的面積為S₁，△PDE的面積為S₂．
（1）求證：BP⊥DE．
（2）求S₁-S₂關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．
（3）分別求當(dāng)∠PBF=30°和∠PBF=45°時(shí)，S₁-S₂的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長(zhǎng)BP交DE于M．只要證明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)S₁-S₂=S_△PBE-S_△PDE計(jì)算即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情形分別求出PC的長(zhǎng)，利用（2）中結(jié)論計(jì)算即可；

解答 解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)BP交DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，
∵CP=CE，
∴△BCP≌△DCE，
∴∠BCP=∠CDE，
∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，
∴∠CDE+∠DPM=90°，
∴∠DMP=90°，
∴BP⊥DE．

（2）由題意S₁-S₂=$\frac{1}{2}$（4+x）•x-$\frac{1}{2}$•（4-x）•x=x²（0＜x＜4）．

（3）①如圖2中，當(dāng)∠PBF=30°時(shí)，

∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，
∴∠PFD=∠DPF=45°，
∴DF=DP，∵AD=CD，
∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，
∴△BAF≌△BCP，
∴∠ABF=∠CBP=30°，
∴x=PC=BC•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S₁-S₂=x²=$\frac{16}{3}$．
②如圖3中，當(dāng)∠PBF=45°時(shí)，在CB上截取CN=CP，理解PN．

由①可知△ABF≌△BCP，
∴∠ABF=∠CBP，
∵∠PBF=45°，
∴∠CBP=22.5°，
∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，
∴∠NBP=∠NPB=22.5°，
∴BN=PN=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x+x=4，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
∴S₁-S₂=（4$\sqrt{2}$-4）²=48-32$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．