Question

11．如圖，在矩形ABCD內(nèi)部畫△ADP，使PA=PD，若∠APD=30°，點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，則$\frac{AB}{BC}$的值是（　�。�

• A． $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 作輔助線，將AB分成三部分，BC分成兩部分，設(shè)PF=BF=x，分別表示AB和BC的長(zhǎng)，相比可得結(jié)論．

解答 解：過P作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，
∴∠PBF=45°，
∴△PFB是等腰直角三角形，
∴PF=BF，
設(shè)PF=x，則BF=x，PB=$\sqrt{2}x$，
∵PD=PA，∠APD=30°，
∴∠DAP=$\frac{180-30}{2}$=75°，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD，
∴BC=2BF=2x，∠PAB=90°-75°=15°，
作AP的中垂線GH，交AP于G，AB于H，連接PH，過P作PM⊥AB于M，
∴△PMB是等腰直角三角形，AH=PH，
∴PM=BM=x，
在Rt△PHM中，∠PHM=∠PAH+∠APH=15°+15°=30°，
∴PH=2x，HM=$\sqrt{3}$x，
∴AH=PH=2x，
∴AB=AH+HM+BM=2x+$\sqrt{3}$x+x=（3+$\sqrt{3}$）x，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{（3+\sqrt{3}）x}{2x}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí)，作出輔助線，構(gòu)建30度的直角三角形PHM是本題的關(guān)鍵．