Question

14．如圖，已知拋物線(xiàn)y=x²-2bx-3（b為常數(shù)，b＜0）．
發(fā)現(xiàn)：（1）拋物線(xiàn)y=x²-2bx-3總經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=b（用含b的代數(shù)式表示），位于y軸的左側(cè)．
思考：若點(diǎn)P（-2，-1）在拋物線(xiàn)y=x²-2bx-3上，拋物線(xiàn)與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，且滿(mǎn)足2＜a＜3，試確定k的取值范圍．
探究：設(shè)點(diǎn)A是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)做邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，AB⊥x軸，點(diǎn)C在點(diǎn)A的右下方，若拋物線(xiàn)與CD邊相交于點(diǎn)P（不與D點(diǎn)重合且不在y軸上），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3，求b與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 解：（1）拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)；當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2bx-3=-3，
所以?huà)佄锞�(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，-3）；
（2）利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=b，然后利用b的范圍確定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)；
思考：把P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²-2bx-3得b=-1，則拋物線(xiàn)解析式為y=x²+2x-3，再分別計(jì)算出a=2和a=3所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)值，從而確定反比例函數(shù)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)的位置，然后利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定k的范圍；
探究：設(shè)A（m，m²+2m-3），利用正方形的性質(zhì)得D（m+1，m²+2m-3），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+1，-3），然后把P（m+1，-3）代入y=x²-2bx-3可得到b與m的關(guān)系式．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2bx-3=-3，
所以?huà)佄锞�(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，-3）；

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-$\frac{-2b}{2}$=b，
因?yàn)閎＜0，
所以?huà)佄锞�(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)；
故答案為（0，-3），b，左；

思考：把P（-2，-1）代入y=x²-2bx-3得4+4b-3=-1，解得b=-1，
拋物線(xiàn)解析式為y=x²+2x-3，
當(dāng)a=2時(shí)，y=x²+2x-3=4+4-3=5，
當(dāng)a=3時(shí)，y=x²+2x-3=9+6-3=12，
所以二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)上的點(diǎn)（2，5），（3，12）之間，
所以2×5＜k＜3×12，
即10＜k＜36；

探究：設(shè)A（m，m²+2m-3），
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB⊥x軸，
∴D（m+1，m²+2m-3），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+1，-3），
把P（m+1，-3）代入y=x²-2bx-3得（m+1）²-2b（m+1）-3=-3，
而m+1≠0，
∴m+1-2b=0，
∴b=$\frac{m+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；理解反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．