Question

19．已知拋物線C₁：y=x²-2mx+m²+m+1（m＞1）的頂點為A，拋物線C₂的對稱軸是直線x=-1，頂點為點B，且拋物線C₁和C₂關(guān)于Q（1，$\frac{1}{2}$）成中心對稱．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標（用m的代數(shù)式表示）；
（2）求m的值和拋物線C₂的解析式；
（3）過點A、B分別作AC⊥x軸，BD⊥x軸，點C、D為垂足，如果P是x軸上的點，且連結(jié)PA、PB后它們與AC、BD及x軸所圍成的兩個三角形（△PAC和△PBD）相似，求所有符合上述條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)配方法直接配成頂點式即可確定出拋物線的頂點坐標，
（2）根據(jù)拋物線C₁和C₂關(guān)于Q（1，$\frac{1}{2}$）成中心對稱的性質(zhì)直接建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況進行討論，每一種情況又按對應(yīng)邊不同分兩種情況討論計算．

解答 解：（1）由于拋物線C₁：y=x²-2mx+m²+2m+1=（x-m）²+2m+1，
∴拋物線C₁的頂點A（m，m+1）．
（2）∵拋物線C₂的對稱軸是直線x=-1
∴設(shè)拋物線C₂的解析式為y=a（x+1）²+k
∴拋物線C₂的頂點坐標為B（-1，k）
由（1）知，拋物線C₁的頂點A（m，m+1）．
∵拋物線C₁和C₂關(guān)于Q（1，$\frac{1}{2}$）成中心對稱，
∴-1+m=2，m+1+k=1，a=-1，
∴m=3，k=3，
∴設(shè)拋物線C₂的解析式為y=-（x+1）²+3；
（3）設(shè)點P（p，0）
∵A（3，4），B（-1，3），
∴AC=4，BD=3，
①如圖1，

當點P在線段CD上時，（-1＜p＜3），
∴PC=3-p，PD=p+1
∵△PAC和△PBD相似，
∴Ⅰ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{3-p}{p+1}$，
∴p=$\frac{5}{7}$，
∴P₁（$\frac{5}{7}$，0），
Ⅱ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{p+1}{p-3}$，
∴p=15（舍），
∴P₂（15，0），
②當點P在射線CD上時，（p＜-1）
CP=3-p．DP=-1-p
Ⅰ、∵△PAC和△PBD相似，
∴Ⅰ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{3-p}{-1-p}$，
∴p=-13，
∴P₃（-13，0），
Ⅱ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{-1-p}{3-p}$
∴p=15（舍），
③當點在射線DC上時，（p＞3）
∴PC=p-3，PD=p+1
∵△PAC和△PBD相似，
∴Ⅰ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PD}$，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{p-3}{p+1}$，
∴p=-13（舍），
Ⅱ、$\frac{AC}{BD}=\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{p+1}{p-3}$，
∴p=15，
∴P₄（15，0），
即：所有符合上述條件的點P的坐標為P₁（$\frac{5}{7}$，0），P₂（-13，0）．P₃（15，0）．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，難點是分類討論，容易遺漏，需注意．