Question

15．提出問題：已知△ABC的三邊長分別為記a，b，c，且a=n²-16，b=8n，c=n²+16（n＞4），試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
解法展示：因為a²=（n²-16）²=n⁴-32n²+256，b²=（8n）²=64n²，c²=（n²+16）²=n⁴+32n²+256，所以a²+b²=n⁴-32n²+256+64n²=n⁴+32n²+256=c²．所以△ABC是直角三角形．
反思交流：
（1）填空并回答上述解法用到了我們學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)知識？寫出四點；
（2）若角形的邊長分別為2n²+2n，2n+1，2n²+2n+1（n＞0），請問這個三角形是直角三角形嗎？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)積的乘方法則得出（8n）²=64n²，代入利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；解法中用到的數(shù)學(xué)知識有：積的乘方法則，等量代換，合并同類項的法則，勾股定理的逆定理；
（2）欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．

解答 解：（1）因為a²=（n²-16）²=n⁴-32n²+256，b²=（8n）²=64n²，c²=（n²+16）²=n⁴+32n²+256，所以a²+b²=n⁴-32n²+256+64n²=n⁴+32n²+256=c²．所以△ABC是直角三角形．
解法中用到的數(shù)學(xué)知識有：積的乘方法則，等量代換，合并同類項的法則，勾股定理的逆定理；

（2）這個三角形是直角三角形．理由如下：
∵三邊長為2n²+2n，2n+1，2n²+2n+1（n＞0），
∴（2n²+2n）²=4n⁴+8n³+4n²，
（2n+1）²=4n²+4n+1，
（2n²+2n+1）²=4n⁴+4n²+1+8n³+4n²+4n=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
∴（2n²+2n）²+（2n+1）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
∴（2n²+2n）²+（2n+1）²=（2n²+2n+1）²，
故三邊長為2n²+2n，2n+1，2n²+2n+1（n＞0）的三角形是直角三角形．
故答案為64n²，64n²，直角．

點評 本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．