Question

1．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來的速度沿AB返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也同時停止．連結(jié)PQ，以PQ為直徑作⊙O，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．
（1）在點(diǎn)Q從B到A的運(yùn)動過程中，當(dāng)t=$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$時，⊙O與△ABC某條邊相切．
（2）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，過O作直徑PQ的垂線l，在整個過程中：
①直線l1次過C點(diǎn)；
②如圖2，當(dāng)l過點(diǎn)A時，過A作BC的平行線AE，交射線QP于點(diǎn)E，求△AQE的面積；
③當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線與圓相切時分與AC和AB相切兩種情況分析，利用相似三角形得出t的數(shù)值即可；
（2）①根據(jù)分析得出直線l為PQ的垂直平分線，故當(dāng)CP=CQ時經(jīng)過C點(diǎn)；
②取AC的中點(diǎn)M，利用三角形的中位線得出AE=3，再利用三角形面積計算即可；
③分當(dāng)0＜t≤3時和當(dāng)3＜t≤5時兩種情況進(jìn)行分析解答．

解答 解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=5，
（1）當(dāng)⊙O與AC相切時，
∴PQ⊥AC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
∵AP=t，AQ=3-t，
∴$\frac{t}{3}=\frac{3-t}{5}$，
解得t=$\frac{9}{8}$，
當(dāng)⊙O與AB相切時，
∴PQ⊥AB，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
∵AP=t，AQ=3-t，
∴$\frac{t}{5}=\frac{3-t}{3}$，
解得：t=$\frac{15}{8}$，
∴在點(diǎn)Q從B到A的運(yùn)動過程中，當(dāng)t=$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$時，⊙O與△ABC某條邊相切；
故答案為：$\frac{9}{8}$或$\frac{15}{8}$；
（2）①直線l為PQ的垂直平分線，故當(dāng)CP=CQ時經(jīng)過C點(diǎn)，
故只有一次，
故答案為：1；
②∵l過A點(diǎn)，AO⊥PQ，
可得AQ=AP，
∴3-t=t，
解得：t=1.5，
∴Q是AB的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)M，如圖1：

則QM為△ABC的中位線，
∴QM∥BC，QM=2，
∵AE∥BC，
∴AE∥QM，
∴△AEP∽△MQP，
∴$\frac{AE}{QM}=\frac{AP}{MP}$，
∴$\frac{AE}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{1}$，
∴AE=3，
∴${S}_{△AQE}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$；
③連接BP，如備用圖1：

當(dāng)0＜t≤3時，
BQ=BP=AP，
∴∠A=∠PBA，
∴∠C=∠1，
∴PB=PC，
即BQ=PC，
∴t=5-t，
解得：t=2.5；
當(dāng)3＜t≤5時，
BQ=6-t，
∴BP=6-t，
過P作PG⊥BC于G，如備用圖2：

∴PG=$\frac{3}{5}（5-t）$，CG=$\frac{4}{5}（5-t）$，
∴BG=$4-\frac{4}{5}（5-t）$，
在Rt△PBG中，PB²=BG²+PG²，
∴$（6-t）^{2}=[4-\frac{4}{5}（5-t）]^{2}+[\frac{3}{5}（5-t）]^{2}$，
解得：$t=\frac{45}{14}$，
所以當(dāng)l經(jīng)過B點(diǎn)時，t=2.5或t=$\frac{45}{14}$．

點(diǎn)評 此題考查圓的綜合題，關(guān)鍵是利用直線與圓的相切時分與AC和AB相切兩種情況分析．