Question

3．如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，線段HN長度的最小值是1.25．

Answer 1

分析 取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．

解答 解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，
∵旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等邊△ABC的對稱軸，
∴HB=$\frac{1}{2}$AB，
∴HB=BG，
又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠MBG=∠NBH}\\{MB=NB}\end{array}\right.$，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，
此時∵∠BCH=$\frac{1}{2}$×60°=30°，CG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴MG=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$×2.5=1.25，
∴HN=1.25，
故答案為：1.25．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．