Question

9．在同一直角坐標系中，拋物線C₁：y=ax²-2x-3與拋物線C₂：y=x²+mx+n關于y軸對稱，C₂與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側．
（1）求拋物線C₁，C₂的函數(shù)表達式；
（2）求A、B兩點的坐標；
（3）在拋物線C₁上是否存在一點P，在拋物線C₂上是否存在一點Q，使得以AB為邊，且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由對稱可求得a、n的值，則可求得兩函數(shù)的對稱軸，可求得m的值，則可求得兩拋物線的函數(shù)表達式；
（2）由C₂的函數(shù)表達式可求得A、B的坐標；
（3）由題意可知AB只能為平行四邊形的邊，利用平行四邊形的性質，可設出P點坐標，表示出Q點坐標，代入C₂的函數(shù)表達式可求得P、Q的坐標．

解答 解：
（1）∵C₁、C₂關于y軸對稱，
∴C₁與C₂的交點一定在y軸上，且C₁與C₂的形狀、大小均相同，
∴a=1，n=-3，
∴C₁的對稱軸為x=1，
∴C₂的對稱軸為x=-1，
∴m=2，
∴C₁的函數(shù)表示式為y=x²-2x-3，C₂的函數(shù)表達式為y=x²+2x-3；
（2）在C₂的函數(shù)表達式為y=x²+2x-3中，令y=0可得x²+2x-3=0，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）；
（3）存在．
∵AB的中點為（-1，0），且點P在拋物線C₁上，點Q在拋物線C₂上，
∴AB只能為平行四邊形的一邊，
∴PQ∥AB且PQ=AB，
由（2）可知AB=1-（-3）=4，
∴PQ=4，
設P（t，t²-2t-3），則Q（t+4，t²-2t-3）或（t-4，t²-2t-3），
①當Q（t+4，t²-2t-3）時，則t²-2t-3=（t+4）²+2（t+4）-3，解得t=-2，
∴t²-2t-3=4+4-3=5，
∴P（-2，5），Q（2，5）；
②當Q（t-4，t²-2t-3）時，則t²-2t-3=（t-4）²+2（t-4）-3，解得t=2，
∴t²-2t-3=4-4-3=-3，
∴P（2，-3），Q（-2，-3），
綜上可知存在滿足條件的點P、Q，其坐標為P（-2，5），Q（2，5）或P（2，-3），Q（-2，-3）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、對稱的性質、函數(shù)圖象與坐標軸的交點、平行四邊形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中由對稱性質求得a、n的值是解題的關鍵，在（2）中注意函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法即可，在（3）中確定出PQ的長度，設P點坐標表示出Q點的坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．