Question

10．直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于點A，B，點C在x軸上，P在線段AB上（含端點），CP的最小值是2．直接寫出C點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 分點C在線段OA上（包括端點）、點C在O點左側(cè)以及點C在A點右側(cè)三種情況考慮：①當點C在線段OA上時（包括端點），過點O作OE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征結(jié)合面積法可求出OE的長度，再根據(jù)平行線分線段成比例可得出點C橫坐標的取值范圍；②當點C在O點左側(cè)時，顯示CP最小值不可能為2；③當點C在A點右側(cè)時，AC長度最小，由此得出點C橫坐標x的取值范圍為：6＜x≤8．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①當點C在線段OA上時（包括端點），過點O作OE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示．
∵直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于點A，B，
∴A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴OA=6，OB=2$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=3．
∵OE∥CF，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$，
∴當CF=2時，AC=4，此時點C的坐標為（2，0），
∵點P的隨意性，
∴此時點C橫坐標x的取值范圍為：2≤x≤6；
②當點C在O點左側(cè)時，顯示CP最小值不可能為2；
③當點C在A點右側(cè)時，AC長度最小，
∴此時點C橫坐標x的取值范圍為：6＜x≤8．
綜上所述：點C橫坐標x的取值范圍為2≤x≤8．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的性質(zhì)以及平行線分線段成比例，根據(jù)點P的隨意性找出CP最小值為2的臨界點是解題的關(guān)鍵．